<6>3-D空间中的基变换与坐标变换
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一、空间坐标系的基和基矩阵
在3-D空间中，我们用空间坐标系来规范物体的位置，空间坐标系由3个相互垂直的坐标轴组成，我们就把它们作为我们观察3-D空间的基础，空间中物体的位置可以通过它们来衡量。当我们把这3个坐标轴上单位长度的向量记为3个相互正交的单位向量i,j,k，空间中每一个点的位置都可以被这3个向量线性表出，如P<1,-2,3>这个点可以表为i-2j+3k。
我们把这3个正交的单位向量称为空间坐标系的基，它们单位长度为1且正交，所以可以成为标准正交基。三个向量叫做基向量。现在我们用矩阵形式写出基向量和基。
i = | 1 0 0 |
j = | 0 1 0 |
k = | 0 0 1 |
| i | | 1 0 0 |
B = | j | = | 0 1 0 |
| k | | 0 0 1 |
这样的矩阵我们叫它基矩阵。有了基矩阵，我们就可以把空间坐标系中的一个向量写成坐标乘上基矩阵的形式，比如上面的向量P可以写成：
P = C x B
=>
| 1 0 0 |
| 1 -2 3 | = | 1 -2 3 | x | 0 1 0 |
| 0 0 1 |
这样的话，空间坐标系下的同一个向量在不同的基下的坐标是不同的。
二、局部坐标系和局部坐标
和空间坐标系（也可以叫做全局坐标系）并存的称为局部坐标系，它有自己的基，这些基向量把空间坐标系作为参考系。比如
| x'| | -1 0 0 |
B' = | y'| = | 0 1 0 |
| z'| | 0 0 -1 |
| x''| | 2^½ /2 0 2^½ /2 |
B'' = | y''| = | 0 -1 0 |
| z''| | -(2^½) /2 0 2^½ /2 |
就是两个局部坐标系的基，如图:
现在我们可以把上面那个空间坐标中的向量P|1 -2 3|（以后都用矩阵表示）表示在不同的基下，我把它写成一个大长串的式子：
| x' | | x''|
P = | Px' Py' Pz' | x | y' | = | Px'' Py'' Pz'' | x | y''|
| z' | | z''|
这里| Px' Py' Pz'|是P在B'下的坐标，| Px'' Py'' Pz''|是P在B''下的坐标，我把它写的具体点吧：
| -1 0 0 | | 2^½ /2 0 2^½ /2|
| 1 -2 3 | = | -1 -2 -3 | x | 0 1 0 | = | 2*2^½ -2 2^½ | x | 0 -1 0 |
| 0 0 -1 | | -(2^½) /2 0 2^½ /2|
这就是说，在空间坐标系下面的向量| 1 -2 3 |在基B'下的坐标为|-1 -2 -3|，在B''下的坐标为| 2*2^½ -2 2^½ |。当然空间坐标系也有自己的基B|i j k|^T（因为是列向量，所以写成行向量的转置），但我们现在是拿它当作一个参考系。
在研究了局部坐标系之后，我现在要分析两个应用它们的例子，先来看
三、空间坐标系中一个点围绕任一轴的旋转
四、世界空间到相机空间的变换
空间坐标系XYZ，相机坐标系UVN。这时候相机空间的基（以下简称相机）在空间坐标系中围绕各个坐标轴旋转了一定角度<a,b,c>，然后移动了<x,y,z>。对于模型我们可以看作相对于相机的逆运动，即模型旋转了一定角度<-a,-b,-c>，然后移动了<-x,-y,-z>，可以把相机和物体的运动看成两个互逆的变换。这样，可以通过对相机的变换矩阵求逆来得到模型的变换矩阵。下面来具体看一下，如何得到相机变换矩阵，并且求得它的逆矩阵。
首先声明一下，对于一个模型的变换，我们可以给模型矩阵左乘变换矩阵：
M x P = P'
| A B C D | | x | | Ax + By + Cz + D |
| E F G H | | y | | Ex + Fy + Gz + H |
x =
| I J K L | | z | | Ix + Jy + Kz + L |
| M N O P | | 1 | | Mx + Ny + Oz + P |
也可以右乘变换矩阵：
P^T x M^T = P'^T
| A E I M |
| B F J N |
| x y z 1| x = |Ax+By+Cz+D Ex+Fy+Gz+H Ix+Jy+Kz+L Mx+Ny+Oz+P|
| C G K O |
| D H L P |
可以看出两种变换方式是一个转置关系，结果只是形式上的不同，但这里我们使用后者，即右乘变换矩阵，因为比较普遍。
很显然，相机的变换可以分成两个阶段：旋转和平移。我们先来看旋转。
在空间坐标系中，相机旋转之前世界坐标系xyz和相机坐标系u0v0n0的各个轴向量的方向相同，有关系：
| u0 | | x |
P = |Pu0 Pv0 Pn0| x | v0 | = |Px Py Pz| x | y |
| n0 | | z |
这里P是空间坐标系中的一个向量。|u0 v0 n0|^T是相机基矩阵，|Pu0 Pv0 Pn0|是P在相机基矩阵下的坐标。|x y z|^T是
世界基矩阵，|Px Py Pz|是P在它下面的坐标。有Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz。
相机和向量P都旋转之后，有关系：
| u | | x |
P' = |Pu0 Pv0 Pn0| x | v | = |Px' Py' Pz'| x | y |
| n | | z |
P'是P同相机一起旋转后的向量。|u v n|^T是相机旋转后的基矩阵，|Pu0 Pv0 Pn0|是P'在它下面的坐标，因为P是和相机一起旋转的，所以坐标不变。|x y z|^T仍为世界基矩阵，|Px' Py' Pz'|是P'在它下面的坐标。
现在看
| u | | x |
|Pu0 Pv0 Pn0| x | v | = |Px' Py' Pz'| x | y |
| n | | z |
因为|x y z|^T为一个单位阵，且Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz。 所以得到
| u |
|Px Py Pz| x | v | = |Px' Py' Pz'|
| n |
即|Px Py Pz|和相机一起旋转后变成|Px' Py' Pz'|，即P x R = P'，而旋转变换矩阵R就是：
| u |
| v |
| n |
写成标准4x4矩阵：
| ux uy uz 0|
| vx vy vz 0|
| nx ny nz 0|
| 0 0 0 1|
平移矩阵T很简单：
| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| x y z 1 |
则相机矩阵就是：
| ux uy uz 0 | | 1 0 0 0 |
| vx vy vz 0 | | 0 1 0 0 |
C = R x T = x
| nx ny nz 0 | | 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 | | x y z 1 |
它的逆矩阵，即相机的逆变换矩阵为
| 1 0 0 0 | | ux vx nx 0 | | ux vx nx 0 |
| 0 1 0 0 | | uy vy ny 0 | | uy vy ny 0 |
C^-1 = T^-1 x R^-1 = x =
| 0 0 1 0 | | uz nz nz 0 | | uz vz nz 0 |
| -x -y -z 1 | | 0 0 0 1 | |-T.u -T.v -T.n 1 |
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