由《两位数乘两位数的估算练习》引发的思考

常州市武进区嘉泽中心小学     李建伟

片断：

教师出示问题：红星实验小学一共有48个班级，平均每个班有32名学生，全校大约有多少名学生？

学生立即动笔独立计算，老师到学生中间进行巡视。

（笔者在巡视中发现学生有以下几种情况：第一种：估算42×48≈2000；第二种：精确计算42×48=2016；第三种：先精确计算42×48=2016，再把2016估成2000，写作2016        2000；第四种：42×48≈2017；第五种：计算错误，42×48=216，积中间少了一个0。）

师巡视中请了两名学生上黑板示范。

生1：42×48≈2000；（ 生2：与生1的方法相同）。

师：×××（生1），说说你的想法。  生1：因为要求全校大约有多少名学生？所以我就用估算的方法。  

师：同学们，你们注意到没有问题中用到“大约”一词，所以要用到估算的方法。

师：×××（生1），你是怎样估算的。

生1：把42看作40，再把48看成50，40×50=2000，所以42×48≈2000。

师：说的真好，而且生1用的方法非常正确，问题中用了“大约”，所以要用“估算”的方法。

思考一：课中教师着重提醒学生看见题目中有“大约”二字就要“估算”。像这样的教学非但不可能让学生理解估算的实际意义，而且只会形成学生的机械记忆与模仿。因为学生在现实生活中几乎很难找到有“大约”二字存在的问题，只有在教师出的练习题和考试卷中才会有“大约”二字。还有，课中出现的第三种情况，学生先精确计算42×48=2016，再把2016估成2000，写作2016     2000，说明学生根本就不懂为什么要估算。再有第四种情况，当时这个结果太出乎我的意料之外，因此我想她究竟是怎样估算出来的呢？经过一番思考，我终于明白了她的想法，她先算出42×48=2016，再用2016加1得到2017。这真是一个让人哭笑不得的估算办法。我们之所以要估算，就是为了省下具体计算的麻烦，提高解决问题的效率，而她却在已经算出准确答案之后还要反过来去求近似值，这样的估算有什么价值呢？再说，数学问题解决的终极目标是对精确的追求，而不只是满足于“大约”、“近似值”。所以，我们要改变这种为了估算而估算的教学状态，不仅要让学生真正理解估算的内涵，更重要的是，要帮助学生建立判断与选择的意识，形成灵活敏捷的思维习惯。

思考二：课开始老师问题的提出，为每个学生解决问题提供了机会，使不同基础的学生表现出了各种各样的思维状态，学生的基础性资源就得以生成，这些资源就可以成为师生的互动性资源。可是教师只展示了正确结果，其它信息都没有回收，学生在课堂中生成的基础性资源都白白浪费了，所以师生之间也因互动性资源的缺乏而无法形成真实的互动，教学呈现出“盲目开放”的状态。

课后在交谈中也得知教师也发现了学生出现的不同情况，教师发现了学生存在着诸多问题和差异，为何视而不见呢？原因恐怕有两个，一是有可能学生的这些问题是教师意料之外的，因为教师的备课的教案上只备了正确答案；二是学生的这些问题有可能是教师意料之中的，选择学生正确的答案是因为教师要遵循教案预设的答案，关于正确答案以外的问题讨论将影响教案的演绎，这种“教案剧”使教师以自己的教案程序为中心而“目中无人”，忘记了眼前是一群充满不同的情感期待和知识需求的学生，关注了教案而没有关注“人”的真实状态和需求。真实的课堂教学意味着师生之间一种既有确定“教学目标”又充满着不确定性的“对话”的真实生活，而所有的这些“不确定性”是因为教学中学生存在着差异，是学生作为一群活生生的“人”渴望教师给予个别化关怀和知识指导。因此，关注学生的问题和差异成为课堂教学的真实需要。

根据以上的思考，反思我们的教学，在估算的教学中有许多值得我们注意的地方。

第一：要让学生理解估算的现实意义，也就是说，要让学生明白什么情况下需要进行估算。一般来说下面两种情况需要用到估算：一种情况是问题比较复杂，运用我们所学的知识还不足以很快地得到问题的确切结果，就可以通过估算的方法，获得接近问题确切结果的一个近似答案。例如小学数学计算教学中的大数目运算问题，在没有学习笔算以前，学生很难一下子就计算出结果，这时就可以引导学生估算出问题的大概结果。从这个意义上说，如果估算的学习安排在笔算学习之后，就很难激发学生学习估算的内在需求。而把估算的学习安排在笔算学习之前，既可以让学生理解估算的意义，使学生产生学习估算的内在需要；又可以帮助学生建立对问题结果的可能范围的基本敏感，使学生形成从整体上把握问题解决方向的判断意识；还可以引导学生用笔算的方法对之前判断的结果进行验证。另一种情况是在现实的生活情境里，有时不需要知道问题的确切结果，只要知道一个大概的范围。例如超市购物的问题。

第二：要让学生理解估算的方法意义。由于估算的结果不是惟一的，所以估算方法的运用有两个目的的指向：一是计算要简便，很快就可以计算出大概结果；二是估算的结果要尽可能接近实际结果。教师需要引导学生在比较中感悟和体验，在比较中理解估算方法的深刻内涵。例如，42×48≈ ？如果把42与48都看成50，那么42×48≈ 2500；如果把42看作40，再把48看成50，40×50=2000，那么42×48≈2000；通过比较可以知道，把42看作50，42与50相差8，而把42看作40，42与40相差2，所以相比之下，42×48≈2000比42×48≈2500更接近实际结果。在估算时，通常情况下一般教师都会引导学生把数看成整十数或整百数进行计算，这样教学容易使学生就事论事，思维变得机械教条，很难形成学生灵活敏捷的思维品质。因此，教学要体现出递进设计的意识。在估算教学的起步阶段，可引导学生把数看作整十数或整百数，一旦学生掌握了这个基本方法，我们就可以提高教学的要求，以怎样估算更接近实际结果为前提要求，引导学生进行灵活的估算，努力渗透和体现无限逼近的数学思想。以73÷3≈？为例，除了把73看作整十数60或90的情况以外，还可以把73看作66，这时73÷3≈22；如果把73看作72，那么73÷3≈24；等等。通过比较可以知道73÷3≈24更接近实际结果。

第三：要让学生了解具体情境中的估算要求。即根据具体的情境要求，让学生了解什么情况下要估大；什么情况下要估小；什么情况下不能估算，一定要计算出实际结果。

上述关于估算教学的要求自然不可能在一节课中都得到体现，我们可以分阶段在加减乘除的估算教学中，以递进设计的方式分别加以体现。事实上，估算教学的目的最终是要形成学生灵活判断的意识，而这种意识的形成显然不是一节课所能为的，需要教师在日常的教学中以渗透的方式努力地有所作为。因此，在教学中我们可以把口算、笔算、估算融为一体，把学生灵活判断与估算意识的培养渗透在每一节课的教学之中。例如，课中学生计算错误42×48=216（第五种情况）的出现，恰好提供了一个融三种算法为一体的“活情境”。教师可引导学生对42×48结果的可能范围进行估计，说明216不在这个范围之内。这样，既可以判断出42×48=216是错误的，又可以让学生感受到估算在具体情境中的意义与作用。学生只有在“活情境”中体会到估算的好处，才有可能理解它的现实意义。唯有这样，学生才有可能把所学的书本知识，在变换了情境的现实生活中灵活自觉地加以运用。