由《可能性的大小》教学案例引发的思考

【内容摘要】

《可能性的大小》是苏教版第五册的内容，本文先列举老师上课的案例，并对案例进行了详细的分析，阐述了由案例引起的一些思考和启迪，教师的专业成长要不断地实践、思考、学习，在创新中成长。

关键词：可能性 合理性 挑战 成长

《可能性的大小》是苏教版第五册的内容。研究这节课的原因是我听了三年级何建平老师有关“可能性的大小”的公开课。教师首先引导学生由浅入深地研究如何用数表示可能性的大小，接着讨论如何设计活动方案。从课始到最后，教师的关注点一直放在如何用数表示上。我当时的直觉就是这样的教学适合研究确定性现象，研究不确定现象好象缺少了什么。我一直在问自己:用数表示可能性的大小和用数表示其它事物的大小“味道”有什么不同?这节课的“魂”到底在哪里?

课例1：探讨如何用数表示可能性的大小 ，体会用数表示的必要性

师：假如两个活动奖品一样，只让你参加其中一个，你会选择哪一个？为什么？

（学生商量了一会儿）

生1：老师，我选摸球的那个。

师(微笑着指指全体同学)：不要说老师我选什么，请面对我们大家说，好吗？

生1(侧过身子，眼光不仅面对老师，也注意和更多的同学交流)：我选摸球的那个，因为摸球的中奖率会稍微大一些。

师：（指摸球活动图）你认为这种中奖率会稍微大一点，问问大家同意你的意见吗？

（有4个同学举起手）

师：有这些支持者，其他同学有什么意见？

生2：我选转盘，因为那个只有4个选项，中奖率高一些。

师：你统计一下，支持你的有多少人？（绝大多数同学举手）师：同学们有两种不同意见，这样吧，我就当一次记者，现场采访一下。请问：为什么说转盘的中奖率高？

生1：因为转盘是4个选出一个来，中奖率就比那个摸球的高一些。摸球那个里面有好几个黄球，只有一个白球。也就是中奖率不是那么大。

师：不是那么大是多大？能说服大家吗?

生2：转盘的中奖率是25%，摸球的中奖率是14%，25%大于14%，所以转盘的中奖率高。

师：25%怎么来的呀？

生2：100除以4，如果把转盘看成100的话，它就占 ，就用100除以4。

师（笑）：同意吗?(有学生摇头)100除以4竟然能得到25%？

生：100%除以4。

师：好。接着看，想，如果我把转盘转一下，停下来，指针可能会停到什么地方？谁来说说？可能会停在哪呢？

生1：可能会停在恭喜中奖那里。

生2：根据地球引力，指针会停在下面那里，就是恭喜中奖（笑声）。

师：我告诉大家，地球确实有吸引力，但是这个影响不大，可以忽略不计。我们不考虑地球引力了，再想。

生3：都有可能，因为每个都占25%。

师（指图）：也就是说可能停在这，也可能停在其他的地方，是吧？所以说：会有几种可能？

生：4种。师：指针可能会停在什么地方我们能事先确定吗？

生：不能。

师：停在这四个地方的机会一样大吗？

生：一样。

师：你怎么看出来的？

生：因为每一种在圆盘里面占的面积都是一样的。

师：哦，每个区域大小都是一样的，是这样吗？

生：是。

师：这样的话，指针停到每一个区域的可能性都是相等的。（板书：可能性相等）

师：那转盘中奖的可能性就是——

生：1/4。(板书)

师：咱们再研究研究这个，摸球中奖的可能性是多少？你是怎么想的？

……师：现在我再统计一下，还有没有选择摸奖的？

（有一个同学举手）

师：还有一个孩子，为什么你想摸球？

生：因为中奖率还是挺大的吧？

师：他觉得中奖率还挺大。那它俩比谁大？

生：转盘。

师：你选摸球，选择什么是你的自由，你喜欢也可以。也有的孩子说摸球比较刺激，我喜欢这样做，可以的。

师：如果只考虑能不能中奖，就选中奖可能性大的进行活动。今天我们一起研究可能性的大小。（板书课题：可能性的大小） 

（在得到中奖的概率后，我们进入了实验验证的活动过程）

课例2：实验验证、反思，体会用数表示可能性大小的合理性

师：如果摸球的话，摸到白球的可能性是——（生：1/8）。好，现在我往这个盒子里面放球，注意看呀（师放球7黄1白，生数着2个、4个、6个、8个），现在我问大家，假如摸24次，按照刚才的推理，会摸到几个白球？

（一两个学生说摸到3个，有的说不一定，有的说肯定能摸到白球）

师：按照刚才的推理，应该摸到3个白球才对呀，怎么有同学说不一定呢？

生1：因为摸球的时候很难按照1、2、3、4、5、6、7、8这个顺序来摸，可能你摸到的是6号球，放进去再拿出来还是6号球，这样摸到白球的可能性就小了。

师：刚才她说了一大段话，实际上告诉我们球是任意放的，摸到哪个球结果太不确定了。是这样的吗？(学生点头称是)

师：那摸到白球的次数是否一定是总次数的1∕8呢?大家意见不一致了，怎么办？看来需要实验验证一下。在做实验之前，大家先看看实验要求。

生：   摸球实验要求

1、轮流摸球，摸球前先将盒子摇一摇，每人每次只摸一个球，再放回盒中。

2、每组共摸球24次，统计摸到白球次数，并写出摸到白球次数占总次数的几分之几。

师：实验一定要做到真实、科学。我们待会还要考察哪一组合作得好，实验的速度快！结果出来之后，把它写在黑板的角上。注意：各组小组长一会上来领盒子，速度快的小组，试验完了，小组长上来放盒子，写数据。其他同学思考：我们得到的数据跟我们刚才推理的数一样吗？这是怎么回事？好，组长来领盒子，请同学们抓紧时间。

（生领盒子，进行实验，教师走到学生中间观察了解学生实验情况，学生兴致很高，有的组摸到白球，学生会兴奋地叫起来）

（一个学生说时间到，最后两个小组组长写结果。黑板上出现了3/24、6/24、3/24、0/24、3/24、9/24、1/24、2/24、6/24）

师：好了，看我写个词：推理。刚才我们推理得到的结果是：摸到白球次数占总次数的1/8。也就是24分之几呀？

生：3/24。

师：现在我们把大家实验得到的数和我们推理的结果比较一下，你有什么想法？

生1：我们的推理不准确。

生2：并不是推理不准确，而是这个说的是可能性的大小，不一定是1/8。

生3：可能是我们比较幸运，所以摸到的白球比较多。

师：刚才有的同学怀疑我们的推理不准确，有的说我们研究可能性，就不一定是1/8，还有同学用到了幸运这个词。刚才几位同学的发言，都说明大家意识到我们研究的现象是一种什么样的现象？（板书：不确定现象）。你任意摸一次，很难预料你摸到的是什么结果。对吧？那我们刚才摸了24次，这个结果怎么还是不能确定呢？我们的推理真得有问题吗？这样的困惑还真是很多，不仅摸球的时候有，抛硬币的时候也有。（师抛硬币），我任意抛了一枚硬币，大家说，正面朝上的可能性是多少？

生：1/2。

师：1/2是吗？但是小明实验了30次，有10次正面朝上，他一个劲地问我这是怎么回事呀？大家想不想知道是怎么回事？

生：想！

师：好，注意看，想想这是怎么回事？

（课件出示：同学所做的掷硬币实验的数据：小明实验了30次，有10次正面朝上；历史上的数学家所做的掷硬币实验的数据：布丰实验了4040 次，德·摩根实验了4092 次，费勒实验了10000 次，皮尔逊 第一次实验了12000 次，第二次实验了24000次，罗曼诺夫斯基实验了80640 次，统计结果，正面出现的次数都非常接近总次数的1/2。）(学生边看，边轻轻地感叹)

师：知道这是怎么回事了吗？

生：因为我们实验的次数太少了。如果多实验几次，

师：谁听明白他的话了？谁想再说一说？

生：我们实验的次数太少了，如果我们实验的次数多一点，这个结果就可能会接近1/2。

师：大家是不是都听清楚了？好了，我们看，他刚才说“非常接近”是不是就正好是1/2呀？

生：不是。

师：实验数据说明:当实验次数足够多的时候，这个值就稳定在我们推理得到的这个值左右。

师：我们通过刚才的实验验证，（板书：实验验证）开始怀疑最初的推理，后来我们通过查资料，分析数据，发现什么了？

生：问题是实验次数太少了。

师：次数太少，我们可以再试验或者把实验的次数加一加。将来大家还会进一步研究，还有机会在计算机上做成千上万次的实验。好，现在通过反思我们知道了(板书：反思)我们可以把推理得到的值作为预测的值进行判断。但现在问题又来了，不管事情出现的可能性是大还是小，事情出现什么结果事先根本不能确定，那我知道可能性的大小有什么价值？

生：就像刚上课时，我们摸彩，我们就可以知道哪种彩票中奖的可能性更大一些。

师：对，摸彩的时候可以用到。其实生活中还有很多时候都能用到。

（举例：让学生理解偶然性）

师：如果天气预报降水概率10/100，你出门会带伞吗？

生：不会。

师：天气预报降水概率90/100，你出门会带伞吗？

生：会。

师：假如今天降水概率是90/100，一定会下雨吗？

生：不一定。

师：这样的事情太多了，生活中不确定的现象要比确定的现象多得多，所以我们应该学会用变化的眼光来看这个世界，学会根据可能性的大小去进行选择和判断。当你用变化的眼光来看这个世界的时候，你就会发现这个世界很有挑战性，很有意思。那我们要不要好好深入地研究一下？好，进一步研究。

 （接着，我们一起明确了可能性的大小的范围是从0—1，并运用可能性的知识设计了摸球方案。）

启示：

最大的启发是教师如何真正获得专业成长。的确，一方面，广大教师迫切希望自己能够尽快成长，另一方面，尽管教师学习了一些理念、理论、知识，却总不能与自己的教学实践相结合，很多教师感觉到自己的成长进入了“高原期”。问题的解决总是要找到切入点，教师的成长需要基于自己实践经验的挑战、思考、学习、创造。

这个案例所呈现的问题是非常具有挑战性的。

1、来自于案例的主题——概率教学。不少老师都有过这样的经历，在课程改革初期，老师们都喜欢选择概率作为研究课的主题，因为它往往需要学生动手试验，似乎非常符合新课程所倡导的东西。渐渐地，选择这个主题的人在减少，大家普遍感觉到要上好概率课其实很难，既要体现数学的味道，又要有效地组织教学，更要面对学生提出的各种各样的想法。确实，概率是新引入小学数学课程的，教师面临着从学科知识、组织教学到评价学生等很多方面的困惑，于是有些老师就采取了回避的方法。而作为青年教师的何建平老师，却能直面这一挑战，选择了这个主题，真是难能可贵。

2、无论在国内，还是在国际，都缺乏对概率教学的比较成熟的经验，没有更多的现成案例可以借鉴，必须需要自己的思考，何建平老师做了，而且思考得比较深入，有了一定的研究意味。正是这一思考使得课堂教学变得“深刻”起来，教师的教学一定要善于思考所教内容的数学核心，而不要马上进入到具体教学活动的设计中。

是呀，什么是概率教学的“魂”呢？何老师一下子抓住了问题的要害，我想这一定与他通过学习和实践而形成的直觉有密切相关。确实，优秀教师需要好的直觉。但他并没有停留在直觉上，而是进一步进行了学习，这一点从他课堂中引用的多个资料及我和他的多次讨论中可以印证。

最终，何建平老师把这节课的“魂”定位在体会不确定现象的特点和价值上，并且把这一思考落实在具体的教学中，选择了让学生经历猜测、推理、实验验证、反思、应用、拓展的学习历程。不仅如此，这一节课还有多处他自己的创造。比如围绕主题的不断地追问：“指针可能会停在什么地方我们能事先确定吗？”“他刚才说“非常接近”是不是就正好是1/2呀？”……正是在不断地追问中，学生逐步体会到不确定现象的不确定性和稳定性的特点。比如对概率价值的讨论。其实，很多人都有这样的疑问，既然是不确定的，学习概率又有什么用。对此，何老师选择了生活中的熟悉的问题（带伞），借助生活经验，使学生体会到概率能够帮助人们在面临不确定情境中作出比较合理的决策。多次使学生面对理论概率与实验概率的冲突，尽管学生们不能马上解决这一冲突，但为今后的学习奠定了基础。

当然，思考是不能停止的，这个案例也为我们提供了可以研究的问题。一方面是有关概率教学的，对此一直以来存在着争论。学生学习概率的主要目的无疑是确定随机的观念，但如何使学生树立这种观念呢？一种途径是通过试验，使学生在实验概率与理论概率的对比中体会随机的思想；一种途径是借助学生的生活经验，直接分析得到理论概率，避免在实验概率与理论概率的差别中纠缠。两种途径各有道理，还需要在理论和实践中进一步研究。另一方面，是有关学生的，何老师注意了对数学核心的挖掘，但在案例中没有体现对学生的了解和分析。我们在课堂中看到了学生一些出乎意料的想法，这些想法代表了他们的经验，如何科学地了解这些经验，使我们的教学设计更加合理，需要进一步地思考。

总之，课堂教学不会是十全十美的，存在着“美丽”的遗憾，教师正是在对遗憾的反思中逐渐成长。何老师的案例无疑是教师专业成长的一个很好的案例。

何老师课堂中还有一些细节打动了我。“还有什么问题”，“你是怎么想的”，“都同意他的想法吗”，“不要说老师我选什么，请面对我们大家说，好吗？”“还有的小组合作，一个人摸的时候由其他人指挥着，往这摸，往那摸，这样好不好？”……正是在这些点点滴滴中，我们的学生会变得越来越有想法、越来越懂得合作、越来越具有理性；细细咀嚼这些细节，我们不难体会到何老师那独有的课堂教学的韵味。

我们真的需要教师们不断地创造出一个又一个富有价值的案例，真的希望教师们不断在挑战、思考、学习、创造中成长。